1. Распределения

1.1

Какое значение имеет 25% квантиль нормального распределения со средним в 20 и стандартным отклонением 90.

1.2

Посчитайте z-score для 97% квантили нормально распределенных данных.

2.1 Биномиальное распределение

Биномиальное распределение — распределение количетсва успехов эксперементов Бернулли из n попыток с вероятностью успеха p.

\[P(k | n, p) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \times p^k \times (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\] \[ 0 \leq p \leq 1; n, k > 0\]

data_frame(x = 0:50,
           density = dbinom(x = x, size = 50, prob = 0.16)) %>% 
  ggplot(aes(x, density))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "Биномиальное распределение p = 0.16, n = 50")

2.2 Геометрическое распределение

Геометрическое распределение — распределение количетсва эксперементов Бернулли с вероятностью успеха p до первого успеха.

\[P(k | p) = (1-p)^k\times p\] \[k\in\{1, 2, \dots\}\]

data_frame(x = 0:50,
           density = dgeom(x = x, prob = 0.16)) %>% 
  ggplot(aes(x, density))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "Геометрическое распределение p = 0.16, n = 50")

2.3 Мультиномиальное распределение

Мультиномиальное распределение — обобщение биноимального эксперимента на случай n независимых испытаний с k исходами с вероятностями каждого исхода \(p_1, p_2, \dots p_k\).

\[P(x_1, \dots, x_k | n, p_1, \dots p_k) = \frac{n!}{x_1!\times\dots\times x_k!} \times p_1^{x_1}\times\dots\times p_2^{x_k}\] \[ x_i \in \{0, n\}, i \in \{1, k\}, \sum_{i=1}^kx_i = n \]

Если у нас есть три взаимисключающих исхода V1, V2 и V3 с верятностями \(p_1 = 0.4, p_2 = 0.35\) и \(p_3 = 0.25\), какова вероятность получить V1 7 раз, V2 3 раза и V3 2 раза?

dmultinom(x = c(7, 3, 2), prob = c(0.4, 0.35, 0.25))

[1] 0.03477197

А как выглядит распределение?

3.1 Нормальное распределение

\[P(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\]

\[\mu \in \mathbb{R}; \sigma^2 > 0\]

data_frame(x = 1:100,
           PDF = dnorm(x = x, mean = 50, sd = 10)) %>% 
  ggplot(aes(x, PDF))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "PDF нормального распределения (μ = 50, sd = 10)")

3.2 Логнормальное распределение

\[P(x) = \frac{1}{\sqrt{x\sigma2\pi}}\times e^{-\frac{\left(\ln(x)-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\]

\[\mu \in \mathbb{R}; \sigma^2 > 0\]

data_frame(x = 1:100,
           PDF = dlnorm(x = x, mean = 3, sd = 0.5)) %>% 
  ggplot(aes(x, PDF))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "PDF логнормального распределения (μ = 4, sd = 0.5)")

3.3 Экспоненциальное распределение

\[P(x)= \lambda \times e^{-\lambda x}\]

data_frame(x = 1:20,
           PDF = dexp(x = x, rate = 5)) %>% 
  ggplot(aes(x, PDF))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "PDF экспоненциального распредления")

3.4 Унимодальное распределение

data_frame(x = 1:20,
           PDF = dunif(x = x, min = 5, max = 10)) %>% 
  ggplot(aes(x, PDF))+
  geom_point()+
  geom_line()+
  labs(title = "PDF унимодального распредления (min = 5, max = 10)")

3.5 Что еще почитать про распределения?

В интернете много ресурсов, но вот еще есть вот этот. А здесь можно найти соответсвия распределений и сопряжённым к ним априорных распределений.

1.1

Дан график логнормального распределения со средним 3 и стандартным отклонением 0.5. Используйте функцию integrate, чтобы посчитать закрашенную площадь под кривой.

1.2

Дан график логнормального распределения со средним 3 и стандартным отклонением 0.5. Используйте функцию integrate, чтобы посчитать закрашенную площадь под кривой.